高中數(shù)學(xué)推理與證明_證明書
發(fā)布時間:2017-07-20 編輯:admin
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高中數(shù)學(xué)推理與證明
高中數(shù)學(xué)推理與證明
一、考點(限考)概要:
1、推理:
(1)合情推理:歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實,經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,在進(jìn)行歸納、類比,然后提出猜想的推理,稱為合情推理。
①歸納推理:
ⅰ定義:由某類食物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者有個別事實概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理,簡稱歸納。
ⅱ特點:
*歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍;
*歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測性;
*歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗和實驗的基礎(chǔ)之上;
*歸納是立足于觀察、經(jīng)驗、實驗和對有限資料分析的基礎(chǔ)上,提出帶有規(guī)律性的結(jié)論。
ⅲ步驟:
*對有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納整理;
*提出帶有規(guī)律性的結(jié)論,即猜想;
*檢驗猜想。
②類比推理:
ⅰ定義:由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理,稱為類比推理,簡稱類比。
ⅱ特點:
*類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認(rèn)識為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果;
*類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性;
*類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠,單它卻有發(fā)現(xiàn)的功能。
ⅲ步驟:
*找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征;
*用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征,從而得出一個猜想;
*檢驗猜想。
(2)演繹推理:
①定義:從一般的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論,這種推理叫演繹推理。
②演繹推理是由一般到特殊的推理;
③“三段論”是演繹推理的一般模式,包括:
大前提——已知的一般結(jié)論;
小前提——所研究的特殊情況;
結(jié) 論——根據(jù)一般原理,對特殊情況得出的判斷。
④“三段論”推理的依據(jù),用集合的觀點來理解:
若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的一個子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P。
(3)合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系:
①歸納是由特殊到一般的推理;
②類比是由特殊到特殊的推理;
③演繹推理是由一般到特殊的推理.
④從推理的結(jié)論來看,合情推理的結(jié)論不一定正確,有待證明;演繹推理得到的結(jié)論一定正確。
⑤演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程;而數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn),主要靠合情推理.
2、證明:
(1)直接證明:
①綜合法:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法,其特點是:“由因?qū)Ч薄?br>②分析法:從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定義、定理、公理等),這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法,其特點是:“執(zhí)果索因”。
③數(shù)學(xué)歸納法:
ⅰ數(shù)學(xué)歸納法公理:
如果①當(dāng)n取第一個值
(例如
等)時結(jié)論正確;
②假設(shè)當(dāng)
時結(jié)論正確,證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確;
那么,命題對于從
開始的所有正整數(shù)n都成立。
ⅱ說明:
*數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可,用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行;
*數(shù)學(xué)歸納法公理是證明有關(guān)自然數(shù)命題的依據(jù)。
(2)間接證明(反證法、歸謬法):假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明原命題成立,這種證明方法叫反證法。
用反證法證明一個命題常采用以下步驟:
①假定命題的結(jié)論不成立;
②進(jìn)行推理,在推理中出現(xiàn)下列情況之一:與已知條件矛盾;與公理或定理矛盾;
③由于上述矛盾的出現(xiàn),可以斷言,原來的假定“結(jié)論不成立”是錯誤的;
④肯定原來命題的結(jié)論是正確的。
即“反設(shè)——歸謬——結(jié)論”
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